Устный счет

Форум » И о погоде... (НЕ про спорт) » Устный счет » Ответить

Устный счет

Ihori: Тут наткнулся на известную картинку [quote]«Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского» — картина русского художника Н. П. Богданова-Бельского, написанная в 1895 году. На картине изображена деревенская школа XIX века во время урока устного счёта. Учитель — реальный человек, Сергей Александрович Рачинский. Он был профессором Московского университета, ботаником и математиком. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского. На доске написана задача, которую необходимо решить ученикам: (10^2 + 11^2 + 12^2 +13^2 +14^2)/365 [/quote] Первая мысль - Как? И все это устно, без калькулятора? А не так уж и сложно оказалось. Главное - спокойствие. Потом проверил на калькуляторе. Точно.

Ответов - 58, стр: 1 2 All

taurus:

al_al: И вправду легко Кстати, к теме про сталинизм и отсталую страну. Как-то образ немытого и безграмотного крестьянина-лапотника, навязанный коммуняками всем нам с самого детства, упрямо не уклядывается в факты, которые можно отыскать в доступных средствах информации. Сейчас можно увидеть много фотографий тех лет в разных собраниях и архивах. Что-то не похожи крестьяне на тупых и забитых существ из красной истории. Недаром упыри всех их уничтожили в первую очередь.

AIS: Получилось al_al пишет: Кстати, к теме про сталинизм и отсталую страну. Как-то образ немытого и безграмотного крестьянина-лапотника, навязанный коммуняками всем нам с самого детства, упрямо не уклядывается в факты, которые можно отыскать в доступных средствах информации. Сейчас можно увидеть много фотографий тех лет в разных собраниях и архивах. Что-то не похожи крестьяне на тупых и забитых существ из красной истории. Недаром упыри всех их уничтожили в первую очередь Боролись с "мелкобуржуазной стихией".

Ihori: применить "дедуктивный метод" , базируясь на двух предпосылках: 1) вряд ли для устного счета будет что-то с дробями - уж слишком это сложно; 2) пять раз по 10^2 будет 500, а если брать 10, 11, 12, 13 и 14, то "чуть" больше, но не вдвойне. Сколько раз берем по 365, чтобы удовлетворить этим условиям?

Igor: Я тоже в уме посчитал, но это в основном благодаря тому, что с института помню чему равно 11^2, 12^2, 13^2 и 14^2. Посчитал, как (500 + 21 + 44 + 69 + 96) / 365 = 2. А в начальной школе, я наверняка бы загнулся. Если картина и пример на доске подлинные, то человечество не прогрессирует а деградирует...

al_al: Igor человечество не прогрессирует а деградирует... юнцам свойствена гибкость ума, поэтому мальчишки считают легко. К тому же в той жизни не было калькуляторов и устный счёт был очень востребован. Но и до сих пор, есть профессии, в которых приходится быстро чситать в уме. А человечество уже примерно 30 тыс. лет находится примерно на одном уровне. Факт.

AIS: У нас в школе это было постоянным упражнением. До сих пор пользу ощущаю

salsakid: Ihori пишет: Первая мысль - Как? И все это устно, без калькулятора? Интересная задачка. Тоже посчитал в уме. Квадрат от 11 до 15 помню со школы тоже. Но мне кажется задача должна решаться легче, чем в лоб складывать. Стал искать зависимости... Обнаружил связь 100 + (100+21) + (100+21+23) + (100+21+23+25) + (100+21+23+25+27) Т.е. ряд после 100тни идет такой 21, 23, 25, 27 Но придумать, что делать с этим рядом не смог. Дальше просто состчитал числитель: а) 100ни - их 5, б) 20ки- их 10, и оставшиеся "хвостики": в) 1шки - их 4, б) 3шки - их 3, г)5ки- их две и одну 7ку. Наверно, должно существовать решение еще проще... Ihori пишет: 1) вряд ли для устного счета будет что-то с дробями - уж слишком это сложно; Хорошая дедукция! Я предполагать, что число будет не дробное не догадался. Мало ли как в школах раньше учили...

Chapay: Ihori пишет: На доске написана задача, которую необходимо решить ученикам: (10^2 + 11^2 + 12^2 +13^2 +14^2)/365 Способ придумал (может, за минуту), но считать лень 4 раза прбавляем 10^2 и отнимаем тоже 4 раза - сумма не изменится. (Элементарно, Ватсон!) Получим, 5*10^2 + 21 + 2*22 + 3*23 + 4*24 = ? Сложно. Подумал ещё 2 минуты. Чтоб было проще вместо 10^2 возьмём 12^2, тогда будет 5*12^2+8+2=? Но считать всё равно лень!!! Если на 365 делится, то где-то 2, наверное, т.к. на конце точно нолик.

Сан Саныч: Chapay пишет: (10^2 + 11^2 + 12^2 +13^2 +14^2)/365 10^2 + 11^2 + 12^2 +13^2 +14^2=(12-2)^2 + (12-1)^2 + 12^2 +(12+1)^2 +(12+2)^2 = 5х 12^2 +2х4+2=730

Chapay: Сан Саныч пишет: (12-2)^2 + (12-1)^2 + 12^2 +(12+1)^2 +(12+2)^2 = 5х 12^2 +4 Не понял переход И где-то в нём ошибка. 4 не может быть конечой цифрой (а то на 365 не поделится) П.С. А! Из симметрии вижу, что просто сумма квадратов получается, но тогда не +4, а 4+1+1+4=10. Так? (с моим сходится) ППС ну да. теперь всё верно. способ проще моего немного.

yola: надо же! а я без бумаги такие преобразования не сообразил :-( поэтому считал, складывая квадраты попарно. чтобы целые десятки были: 100+(121+169)+(144+196)=100+290+330, ну, дальше легко ;-)

taurus:

VP: Ihori пишет: Первая мысль - Как? И все это устно, без калькулятора? А не так уж и сложно оказалось. Главное - спокойствие. Отвыкли однако мы шевелить мозгами. Всё на протезы калькуляторы - компьютеры полагаемся. Ihori пишет: На картине изображена деревенская школа XIX века во время урока устного счёта. Учитель — реальный человек, Сергей Александрович Рачинский. Он был профессором Московского университета, ботаником и математиком. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского. Поучительная картинка. А собственно с этой народовольческой волны и началась новая эпоха. Это тогда родилось поколение, которое поняло всю мерзость эксплуатации, которое бескорыстно пошло в народ. А дальше из них вышли революционеры и построили великую страну со всеобщей грамотностью. Ну а сейчас обратный процесс, ДЕБИЛИЗАЦИЯ ВСЕЙ СТРАНЫ, в полном разгаре. История ведь по спирали развивается...

taurus:

Ihori: salsakid пишет: Но придумать, что делать с этим рядом не смог Я тоже не сообразил, что с ним все-таки делать, но тут гармония явная. Если рассмотреть вспомогательный ряд - строка 5, который сам по себе арифметическая прогрессия, то на основе его чисто механически можно получит "ряд дополнений" - строка 8 (в строке 7 показан расчет). Эксель это позволяет делать простым прокатыванием формулы. Останавливаюсь на Экселе, чтобы показать, что, действительно - никакой напряги мозгов, чистая механика. Ну, промежуточные результаты представлены в строке 11 (соответсвенные формулы - в строке 10). А сами квадраты, соответственно, в строке 13. Я взял тут интервал # до 10, но механика позволяет тянуть его неорганиченно долго. Вызвает восхищение ряд дополнений. Ну чем не дистанции в км для тренировок?

Сан Саныч: Про красоту. Интересный факт: 1+3=4=2^2 1+3+5=9=3^2 1+3+5+7=16=4^2 1+3+5+7+9=25=5^2 и т.д. сумма всех последовательных нечетных чисел = квадрату числа, равного количеству слагаемых. Док-во: (n+1)^2-n^2=2n+1

Chapay: Сан Саныч пишет: Док-во: (n+1)^2-n^2=2n+1 Прочитал перед пробежкой и не понял доказательства На пробежке отчаялся его понять и тут же придумал своё - сумма арфм. прогрессии: n*(2n+1-1)/2 получаем = n^2. И только потом сообразил, что Ваше доказательсвто - это ж мат. индукция Это уже в ветку, типа "мысли на бегу".

Ihori: Все-таки, в школах учат не тому, чему надо. И это научный факт. Например, умножение в столбик - полнейший отстой. ************************* Вот возьмем и умножим 17 на 9 так, как надо, т.е. не напрягаясь и в уме. Единственно, что нужно себе представлять - это дополнения чисел. Мысленно "записываем" (тут текст немного съезжает, на самом деле дополнения в скобках должны располагаться сторого над или под соответствующими числами): (+7) (дополение больще 10) (10 - это основание) 17 х 9 (-1) (дополнение меньше 10) Складываем наши числа и дополения крест-накрест: (+7) + 9 или 17 + (-1). Что в лоб, что по лбу, будет 16. Поэтому для простоты складываем то, что нам кажется сложить проще (думаю, из 17 вычесть 1 будет проще). Промежуточный результат 160 (16, умноженное на основание 10). Добавляем произведение дополнений (+7) х (-1) = -7 Прибавляем к промежуточному результату: 160 + (-7) = 153 ************************************** Возьмем "посложеней": 98 х 104 Мысленно записываем: (+4) (100) 98 х 104 (-2) Начинаем произносить 10 тысяч две-е-е... (промежуточный результат 102 х 100 = 10 200) Нет (не двести), а 10 192 (из промежуточного резултата, пока не произнесли до конца "двести" успеваем вычест 8) ********************************** Можно и еще "посложенй", например, 52 х 53 Та же, по принципу, схема будет выглядеть так: (+2) (+3) (50) 52 х 53 Промежуточный результат: 55 х100 / 2 = 2750 Пока произносим "две тысячи..." сходу получаем окончательный результат = 2756 ********************************** Две-три недели тренировки - и "нанотехнологии (кар-кар!)" лопаются как мыльный пузырь

Ihori: А как вам такой приемчик? Например, на бегу вас спрашивает некто, сколько будет 45^2. Элементарно (вдох-выдох, пятерку пока -- нафиг), а 4 х 5 (это не та пятерка что в числа 45, это первая 4 и плюс 1, т.е. та, которая не нафиг) = 20 , а после нуля приписываем еще 25. Ответ 2025. Или 125^2 ? А это (без пятерки) 12 х 13, т.е. 144+12 = 156 и на конце 25. Итого 15625. Метров за 10-15 можно просчитать.

Андрей Климковский: Igor пишет: Если картина и пример на доске подлинные, то человечество не прогрессирует а деградирует... Во времена Архимеда и Пифагора греки столько знали наизусть, что сейчас и компутеру запомнить трудно. Шлиман - археолог-любитель раскопавший Трою - приехал в Грецию выбирать себе жену (лет 150 назад) и выбрал ту, которая прочитала от и до Гомеровские Одиссею и Иллиаду по памяти. В наши дни уехал бы холостым...

Ihori: Вот-вот. А сейчас выражение μήνιν άοιδε θεά годится разве что для "убойного" вопроса в передачу "как стать милицонером". А это всего-лишь начало Илиады на языке, отличном от современного также, как статья в МК от "Слова о полку Игоревом" в подлиннике -- гнев, богия, воспой.... Сечас бы невеста Шлимана воспользовалась бы iPhonом Гнев, богиня, воспой Ахиллеса, Пелеева сына, Грозный, который ахеянам тысячи бедствий соделал: Μήνιν άειδε θεά Πηληϊάδεω 'Αχιλήος ουλομένην, ή μυρί' 'Αχαιοίς άλγε' έθηκε,

Ihori: Таблица умножения для этого занятия - атавизм. Нам дают: 75425 х 9 ? Для этого записываем: 7 5 4 2 5 Из 10 вычитаем самую правую цифру -- будет 5. Пишем ее под пятеркой. 7 5 4 2 5 _ _ _ _ 5 Далее справа налево для каждого соответствующего разряда начинаем вычитать цифру из девятки и прибавлять к резульату цифру из предыдущего правого разряда. Если результат >= 10, то единицу переносим в более левый разряд. Звучит сложно, но на самом деле это просто: Итак, 9 - 2 + 5 = 12. Двойку пишем под двойкой, единицу переносим в разряд, где четверка. 7 5 4 2 5 _ _ 1 2 5 Далее считаем 9 - 4 = 5, плюс предыдущая двойка = 7, да маленькая единица -- будет 8: 7 5 4 2 5 _ _ 8 2 5 Не останавливаемся. Продолжаем: 7 5 4 2 5 7 8 8 2 5 А теперь в самый левый разряд резултата запишем самую левую цифру множимого, но без единицы (т.е. из левой семерки вычитаем 1): _ 7 5 4 2 5 6 7 8 8 2 5 Все. Учителю на ушко можно шептать ответ: 678 825.

Chapay: Немного не в тему. Чисто поржать. Из действующего школьного учебника: Интересно ещё посчитать сколько спали в день юные животноводы (Дай бог каждому.) Сколько выкурили авторы задачки?

al_al: 91 час - примерно четверо суток, следовательно 5 ночей. 56/5=11.2 часа - для нормального подростка - семечки. А взрывы - нехорошо.

Chapay: al_al пишет: 91 час - примерно четверо суток, следовательно 5 ночей. На 5 часов меньше, чем 4 суток, потом написано, что время на ночной сон, т.е. ночь длинная, значит, дело происходит зимой, да и инкубатор зимой, вроде, резон строить. Паровую машину они делали в каком-нить сарае или СЮТе, значит, взорвалась она не в ночное время, отсюда получаем, что ночей всё ж было 4, следовательно дрыхли они по 14 часов. Допустим. Но читать по 56:4:4 ~ 3,5 часа ежедневно книги по животноводству? Может, поэтому они так долго спали - читали перед сном? Но прикол, конечно, в том, что математика тут на втором плане. У обычных городских детей, если они попробуют представить о чём речь, подозреваю, может просто лопнуть голова, ибо представить книги, да ещё о животноводстве (задачка для 3е-классников), паровую машину, инкубатор .... Полурока придётся объяснять про тяжёлую сельскую жизнь без инета, х-боксов, плэй-стайшнов, компов... В-общем, форменное издевательство.

Ihori: Chapay пишет: Паровую машину они делали в каком-нить сарае или СЮТе... ...У обычных городских детей, если они попробуют представить о чём речь, подозреваю, может просто лопнуть голова, ибо представить книги, да ещё о животноводстве "Обычные городские дети" сейчас нифига не читают, а потому и не знают, как развивались события. А книжка для 3-го класса была интересная. Очевидно, про это и вспомнил составитель задачки. Но не в коня. И не зима была тогда вовсе... Это случилось после того, как взорвалась паровая машина, которую мы с Мишкой делали из консервной банки. Мишка слишком сильно нагрел воду, банка лопнула, и горячим паром ему обожгло руку. Хорошо, что Мишкина мама тут же намазала ему руку нафталановой мазью. Это очень хорошее средство. Кто не верит, пусть сам попробует. Только мазать нужно сейчас же, как обожжёшься, пока не сошла кожа. После того как машина лопнула, Мишкина мама запретила нам с ней возиться и выбросила её в мусорный ящик. Пришлось нам некоторое время слоняться без дела. Скука была смертельная. Началась весна... Мишка отметил страницу, на которой читал, и закрыл книжку. – Тут, брат, про все есть, – сказал он, – как разводить кур, уток, гусей, индюков. – Уж не собираешься ли ты разводить индюков? – спросил я. – Нет, что ты! Просто интересно почитать про это. Оказывается, можно устроить такую машину – инкубатор, и цыплята сами будут выводиться, без курицы.

Chapay: Ihori Спасибо, Игорь. Просветил "темноту" (меня) Гугль выдал Н. Носов "Весёлая семейка". Тогда, да, можн оничего не объяснять ине тратиьт полурока, а отослать к книжке (она и в инете доступна). Тогда, как гтся, дезавуирую свой пост. Вообще-то мне этот задачник очень нравится. Там разноплановые задачки и много на сообразительность, много допускают неск. способов решения, в-общем, совершенной не тупой привычный стандартный учебник. А тут мне показалось, что они перегнули палку. Там оказывается Носов слегка перегнул :)) Это чем же таким они заделали крышку, что ни её не сорвало, ни патрубок, а рванула банка и обожгло руку, не повредив при этом ни её, ни глаза осколками? Ну разве что банка была в какой-то сетке. В-общем, есть подозрение, что аффтор не делал такого эксперимента. А книжку убрали подальше от детей, чтоб не пытались это повторить. :)

Ihori: Chapay пишет: чем же таким они заделали крышку Совсем пошел офтоп, да ладно Действительно, Саша, консервная банка должна лопаться с мощностью маленькой гранаты - интуиция подсказывает, что нужно атмосфер 12-15, не меньше. Для системы в виде "школьной паровой машины" это вряд ли достижимо. Видимо не банка лопнула (автор это вставил для образа, чтоб не вдаваться в детали), а всего лишь выскочил патрубок и повалил пар под давлением, как из носика чайника. Но к устному счету это не относится

Chapay: Извиняюсь, конечно. Думал куда лучше сунуть, наверное стоило в каки-нить Позитивные картинки или Спам, чем зафлуживать интересную тему. Но, что сделано, то уже топором не вырубишь. Модераторов по-пустякам будить тоже не будем. Ihori пишет: Но к устному счету это не относится

Ihori: Полезно запомнить: 37*З =111 Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п. 37*6=37*3*2=222 37*9=37*3*3=333 37*12=37*3*4=444 37*15=37*3*5 =555 и т. д, 7*11*13=1001 Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода: 77*13=1001 77*26=2002 77*39=3003 и т. д. 91*11=1001 91*22=2002 91*33=3003 и т. д. 143*7=1001 143*14=2002 143*21=3003 и т. д.

burmistrenko: Уважаемые форумчане. Мой ответ по поводу, нужен ли калькулятор на уроке или нет, здесь: http://repetitor-problem.net/kalkulyator Считаю, что мало кто сейчас себя вообще утруждает устными вычислениями. А надо бы... Начиная от вычисления сдачи на рынке и заканчивая подсчетом процентов от депозита в банке.

al_al:

Chapay: Да-да! Начинать надо с топ-лыж, а математику надо учиь с аксиом. Хватит уже учить математику пещерными методами! Вот у человека, скажем, 10 пальцев на руках - очень удобно загибать. Получили 10-ричную систему счисления. А как быть бегуну, у которого руки полусжаты и на бегу зажимать пальцы совсем неудобно? Думаю, что счёт было бы удобно "привязать" к ногам. Кто как думает какая система наиболее удобна бегуну? Например, двоичная - два шага в цикле или удобнее с фазами бега связывать, тогда будет больше разрядность. Опять же беговая аналитика. Как она неудобна. То ли дело, выраженная в соотношении числа шагов к эталону, частоты сердца к числу шагов! Сколько времени и сил у бегуна уходит впустую из-за невозможности представить себе как нужно бежать в данный конкретный момент. Только удобное представление способно превратить числа - в стимул, в непосредственные инструкции. Скоро это станет очевидно и вот тогда мы, наконец-то, получим настоящих помощников от гармина. Вот и понял, что меня лично отпугивает от этих цифр! Непонятная 10-ричная система счисления. П.С. И ещё бы добавил - абсолютная система отсчёта. (отпугивает). Соотношение с идеалом - вот, что нужно.

Ihori: У меня пока троичная система: БИПЬ -- раз-два-три, БИПЬ -- раз-два-три. БИПЬ -- это писк метронома. По поводу идеала: (10^2 + 11^2 + 12^2 +13^2 +14^2)/365 .... тут гармония явная 10 x 10 = 9 x 9 + 9 x 2 + 1 11 x 11 = 10 x 10 + 10 x 2 + 1 12 x 12 = 11 x 11 + 11 x 2 + 1 13 x 12 = 12 x 12 + 12 x 2 + 1 14 x 12 = 13 x 13 + 13 x 2 + 1 ………………………………………………… N x N = (N-1) x (N-1)+ (N-1) x 2 + 1

karaul: Вот задачка, в школе на олимпиаде решал. Ответ можно найти в уме или на калькуляторе. Есть два числа отличающиеся друг от друга на 1, каждое число 100-значное. Если их перемножить то получится 200-значное число, в котором левые сто знаков все 1, а правые сто знаков все 2. Назвать число. x*(x+1) = 111.....111222....222 x - ?

BarSeg: 3333.....3333*3333....3334 А "умный" способ решить эту задачу существует?

karaul: BarSeg пишет: А "умный" способ решить эту задачу существует? на олимпиаде я доказывал школьными методами, по индукции, несложно. Наверное есть другой способ

Chapay: ясно, что это квадрат числа + само число. Подбираем для 12 = 3*3 +3 Проверим 1122 = 33*34. Ура! Мы на верном пути! Доказываем Заметим, что 333...3 (н штук) * 3 = 10н-1 Тогда 333...3(н штук) 2 = (10н-1)*111...1(н штук) = 1(н-1 штука)0(1 штука)8(н-1 штука)1(1 штука) - Вот это место удобно да, по-индукции, наверное, удобно, но и так сойдёт. Прибавляем наши 3(н штук) Получаем то что надо!

karaul: Вот ещё, без индукции и без подбора, в лоб, строгое доказательство 111.......111222.......222 = 111.......111111......111 + 111...111 (в первом слагаемом 2*n единиц, во втором - n единиц, n=100. ) 111...111111....111 = 999...999999...999/9 = (10**2n-1)/9 111...111 = 999...999/9 = (10**n-1)/9 111.......111222.......222 = (10**2n-1)/9 + (10**n-1)/9 (x**2-1) = (x+1)(x-1) (10**2n - 1)/9 = (10**n-1)(10**n+1)/9 111.......111222.......222 = (10**n-1)/3*[(10**n+1)/3 + 1/3] 111.......111222.......222 = 999...999/3 * [(10**n-1)/3 +2/3 + 1/3] 111.......111222.......222 = 333...333*[333...333+1]

полная версия страницы